Question

证明方程X^5-3X=1在区间(1,2)内至少有一个实根

证明方程X^5-3X=1在区间(1,2)内至少有一个实根~

Answer 1

证明：
先简单介绍一下零点定理：
若函数f(x)在区间[a,b]内是连续的（几何上表现为没有缺失点），且f(a)*f(b)<0,
则函数f(x)在区间[a,b]内必有零点（就是有解）。可以想象一下一条连续不间断的线条围绕X轴上下两旁走，只要该线条有一小段是在X轴上面的，f（x）>0
而且还有另外一小段在X轴下面的，即f(X)<0,则此线条一定穿过X轴，并且与其有交点。这个点就是零点，也是就此零点可以使函数f(X)=0

现在构造函数f(x)=X^5-3X-1 ,显然它的定义域为R，而且函数f(x)为连续函数
∵f(1)=1^5-3*1-1=-3<0
f(2)=2^5-3*2-1=25>0
∴f(1)*f(2)<0
由零点定理知道，至少存在一个k,且k∈(1,2) 使得f(k)=0

Answer 2

已经证明出他是单调减少的，然后又f(0)=1,f(1)=0，所以在(0,1)区间内，只有一个数x使得f(x)=0。如果不是单调的，那只能得出在该区间存在解，但不一定唯一，单调性保证了解的唯一性。
证明：设f(x)=x^3-3x+1,知f(x)在(0,1) 连续，又 f(0)=1,f(1)=-1,因此在(0,1)内必存在一个x0，使得f(x0)=0。又f'(x)<0，因此在(0,x0)中对应的函数值都f(x)>f(x0),在[x0,1)中的函数值f(x)<f(x0)，因此有且只有x0,使得f(x0)＝0.证明了唯一性。

Answer 3

1、设f(x)＝x�－3x，再用定义证明f(x)是（1，2）上的增函数；
2、求出f(1)＝－2�1，f(2)＝26�1；
3、由函数的单调性可得，在（1，2）上必有x�，使f(1)＝－2�1＝f（x�）�26＝f(2).
即 方程X^5-3X=1在区间(1,2)内至少有一个实根.