Question

如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC,CD=CE，M、N分别为AE、BD的中点，连CM、CN

上面写不了了 在下面接上 （1）我会写省略（2）若△CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则（1）的结论是否仍成立？试证明。问题一的网址：http://zhidao.baidu.com/question/321201313.html

Answer 1

解：（1）CM=CN，MC⊥CN，
理由是：∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中

AC＝BC
∠ACE＝∠BCD
CE＝CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∵∠ACE=∠BCD=90°，M为AE中点，N为BD中点，
∴CM=AM=ME=1/2
AE，CN=DN=BN=1/2
BD，
∴CM=CN，∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，
∵∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠MCA+∠NCD=90°，
∴∠MCN=180°-90°=90°，
即MC⊥CN．

（2）成立，
证明：∵∠ACE=∠BCD=90°，∠ECB=∠ECB，
∴∠ECA=∠DCB，
∴在△ACE和△BCD中

AC＝BC
∠ACE＝∠BCD
CE＝CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵M、N分别为AE、BD中点，
∴EM=DN，
在△MEC和△NDC中

ME＝DN
∠MEC＝∠NDC
EC＝DC

∴△MEC≌△NDC，
∴CM=CN，∠ECM=∠NCD，
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN=∠NCD+∠ECN=∠ECD=90°，
∴CM⊥CN．

Answer 2

（1）CN与CM的数量关系是：相等。
位置关系是：互相垂直。
证明：因为 角ACB=角DCE=直角，
所以 角ACB--角ECB=角DCE--角ECB,
即： 角ACE=角BCD,
因为 AC=BC,CD=CE,
所以 三角形ACE全等于三角形BCD,
所以 AE=BD, 角EAC=角DBC
因为 M,N分别是AE,BD的中点，
所以 AM=BN,
又因为 AC=BC,
所以 三角形AMC全等于三角形BNC,
所以 CM=CN. 角ACM=角BCN
又 因为 角ACB是直角，
所以 角MCN也是直角，
所以 CM与CN互相垂直。
（2）若三角形CDE绕C转任意角度，则（1)的结论仍成立。
证明：第一问已写了。

Answer 3

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