Question

若f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y) (1)f(1) (2)f(6)=1,f(x+3)-f(1/x)2

(1)f(1)
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2
（1）会做，主要是（2）

Answer 1

由定义域知x＞0
f（x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3被根号17 -3）/2

Answer 2

解：（1）f (1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
(2) 又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3被根号17 -3）/2