Question

已知a>0,b>0,c>0，求证：(1)(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc;(2)(a/b)+(b/c)(c/a)>=3

Answer 1

(1)
a+b=[a+b－2√(ab)]+2√(ab)=(√a－√b)²+2√(ab)
∵(√a－√b)²≥0
∴a+b≥2√(ab)

同理a+c≥2√(ac),b+c≥2√(bc)
∴(a+b)(b+c)(c+a)>=2√(ab)×2√(ac)×2√(bc)=8abc

(2)(a/b)+(b/c)+(c/a)>=3

令a/b=p^3，b/c=q^3,c/a=r^3
(a/b)+(b/c)+(c/a)=p^3＋q^3＋r^3
现证明p^3＋q^3＋r^3≥3pqr
p^3+q^3+r^3-3pqr
=[( p+q)^3-3p^2q-3pq^2]+r^3-3pqr
=[(p+q)^3+r^3]-(3p^2q+3pq^2+3pqr)
=(p+q+r)[(p+q)^2-(p+q)r+r^2]-3pq(p+q+r)
=(p+q+r)(p^2+q^2+2pq-pr-qr+r^2)-3ab(p+q+r)
=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-pr-qr)
=(p+q+r)(2p^2+2q^2+2r^2-2pq-2qr-2pr)/2
=(p+q+r)[(p－q)^2+(q-r)^2＋（p－r）^2]/2
p+q+r都为正实数，

所以p^3+q^3+r^3-3pqr＝(p+q+r)[(p－q)^2+(q-r)^2＋（p－r）^2]/2≥0
当且仅当p＝q＝r时，p^3+q^3+r^3-3pqr＝0
即p^3＋q^3＋r^3≥3pqr成立

把a/b=p^3，b/c=q^3,c/a=r^3代入有
(a/b)+(b/c)+(c/a)≥3×a/b×b/c×c/a=3
即(a/b)+(b/c)+(c/a)≥3得证

Answer 2

(1):证明：a、b、c＞0
a＋b＞＝2根号（ab）
同理…
不等式左边＞＝8根号（a＾2＊b＾2＊c＾2）＝8abc
原式得证
(2):后者应该为加吧？
a／b＋b／c＋c／a＞＝3
不等式左边得
a／b＋b／c＋c／a＞＝3＊三次根号（a／b＊b／c＊c／a）＝3
原式证毕