Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE,CD相交于点O，点F，G分别是OB,OC中点。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE,CD相交于点O，点F，G分别是OB,OC中点。
1.求证四边形DFGE是平行四边形
2.如果把Rt△ABC换成任意△ABC，如图二（右边的）是否成立，无需证明。
3.在图二中，如果拖动点A，在什么条件下，四边形DFGE是矩形。给出证明
4.在第3问中，如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？画出图形，无需证明（这个不会，请大家告诉我是什么时候可以，图我自己画）

Answer 1

证明：

（1）∵BE、CD是中线，
∴D、E是两边的中点．
∴DE∥BC且DE=1/2 BC．
又∵点F、G分别是OB、OC的中点，
∴FG∥BC且FG=1/2 BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四边形DFGE是平行四边形．

 

（2）成立.

（3）如图，当AB=AC时，四边形DFGE是矩形，作AH⊥BC，如图所示，
∵AB=AC，AH⊥BC
∴AH是BC边的中线，
又∵BE、CD是中线，
∴AH必过点O．（三角形三条中线相交于一点）
∵DF为△ABO的中位线，
∴DF∥AO，即DF∥AH，
又FG为△BCO的中位线，
∴FG∥BC，
又FG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥FG．
∴∠DFG=90度．
又∵四边形DFGE是平行四边形，
∴四边形DFGE是矩形．

 

（4）解：拖动点A，存在四边形DFGE是正方形或菱形，如图所示．

点评：本题利用了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质求解．同时此题是一道几何结论动态题，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神