Question

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-x^2+ax-2。当x属于[1/e，e]时，若函数y=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-x^2+ax-2。当x属于[1/e，e]时，若函数y=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围

解析：∵函数f(x)=xlnx，g(x)=-x^2+ax-2

令h(x)=
f(x)-g(x)=xlnx+x^2-ax+2，其定义域为x>0

令h’(x)=lnx+1+2x-a=0

∴a= lnx+1+2x==> a’=1/x+2>0==>a单调增

当x≈0.231527时，a=0

h’’(x)=1/x+2>0，∴h(x)在x≈0.231527处取极小值

∵x∈[1/e，e]，且0.231527<1/e

∴要在区间[1/e，e]上取极小值，则a>0

若要h(x)在区间[1/e，e]上有两个零点，须使极小值点在此区间上，且极小值<0

h(x)=xlnx+x^2-ax+2=0==>x=1

h(1)=3-a=0==>a=3

∴a>3

h(e)=e+e^2-ae+2=0==>a=(e+e^2+2)/e=1+e+2/e

∴a<1+e+2/e

∴满足题意的a的取值范围为3<a<1+e+2/e.

Answer 2

可以分离变量，得到a=Inx+x+2/x.对右边求导得到导函数为（x^2+x-2）/x^2,可以知道该导函数在负无穷到-2上大于0，在-2到1上小于0，在1到正无穷上大于0，因此得到在定义域上，1/e上原函数减，在1/e到e上增。因此，只需求出x=1/e时Inx+x+2/x的值，x=1时的值，x=e时的值，这样，令a介于第一个个第三个值的最小值和第二个值之间即可，得到3＜=a＜=1+e+2/e

Answer 3