Question

高一数学 急 要步骤

已知函数f(x)=ax+b\x^2 +1是定义在（-1,1）上的奇函数且f(1\2)=-2\5 1求函数f(x)的解析式 2，判断f(x)的单调性并证明你的结论。3，解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

(1)，因为f(x)=(ax+b)/(1+x²)是 奇函数，所以
f(0)=0，则b=0.
又f(1/2)=(a/2+b)/[1+(1/2)²]=(2a+4b)/5=-2/5，
由b=0，得： a=-1，
所以函数f(x)的解析式： f(x)=-x/(1+x²)。
(2)，函数f(x)的定义域为：(-1，1)，
在(-1，1)上，任取x1，x2，-1<x1<x2<1，则：
f(x1)-f(x2)=-x1/(1+x1²)+x2/(1+x2²)
=-[x1(1+x2²)-x2(1+x1²)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
=-[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]，
因为-1<x1<x2<1，则：x1-x2<0， 1-x1x2>0，(1+x1²)>0，(1+x2²)>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，
根据函数单调性的定义，-1<x1<x2<1，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x) 在(-1，1)上是减函数。
(3)，f(t-1)+f(t)<0，
f(t-1)<-f(t)=f(-t)， (f(x)是奇函数)
因为函数f(x) 在(-1，1)上是减函数，所以
t-1>-t ，且 -1<t-1<1， -1<-t<1，
即t>1/2，且 0<t<2 ， -1<t<1，
所以 1/2<t<1。