Question

用分部积分法求：∫xarcsinxdx

Answer 1

解：∫xarcsinxdx

=1/2*∫arcsinxdx^2

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2darcsinx

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx       

令x=sint，那么，

∫x^2/√(1-x^2)dx

=∫(sint)^2/costdsint

=∫(sint)^2dt

=∫(1-cos2t)/2dt

=1/2t-1/4sin2t+C=1/2t-1/2sint*cost+C

又x=sint，则t=arcsinx，cost=√(1-x^2)，那么

∫x^2/√(1-x^2)dx=1/2t-1/2sint*cost+C=1/2arcsinx-1/2*x*√(1-x^2)+C

那么∫xarcsinxdx=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx

=1/2*x^2*arcsinx-1/4arcsinx+1/4*x*√(1-x^2)+C

扩展资料：

1、分部积分法的形式

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。

例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、不定积分凑微分法

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C

直接利用积分公式求出不定积分。

3、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫(secx)^2dx=tanx+C、∫cscxdx=-cotx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

看图详解：

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Answer 3

∫xsinx dx 

利用分部积分法

=-∫xdcosx 

=-xcosx+∫cosx dx 

=-xcosx+sinx+c

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

求不定积分的方法：

1、换元积分法：

可分为第一类换元法与第二类换元法。

第一类换元法（即凑微分法）

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

2、分部积分法

公式：∫udv=uv-∫vdu

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx，这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv