用分部积分法求：∫xarcsinxdx
解：∫xarcsinxdx
=1/2*∫arcsinxdx^2
=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2darcsinx
=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx
令x=sint，那么，
∫x^2/√(1-x^2)dx
=∫(sint)^2/costdsint
=∫(sint)^2dt
=∫(1-cos2t)/2dt
=1/2t-1/4sin2t+C=1/2t-1/2sint*cost+C
又x=sint，则t=arcsinx，cost=√(1-x^2)，那么
∫x^2/√(1-x^2)dx=1/2t-1/2sint*cost+C=1/2arcsinx-1/2*x*√(1-x^2)+C
那么∫xarcsinxdx=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx
=1/2*x^2*arcsinx-1/4arcsinx+1/4*x*√(1-x^2)+C
扩展资料：
1、分部积分法的形式
（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。
例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx
（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。
例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)
=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx
（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C
2、不定积分凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
直接利用积分公式求出不定积分。
3、不定积分公式
∫mdx=mx+C、∫(secx)^2dx=tanx+C、∫cscxdx=-cotx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
看图详解：
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∫xsinx dx
利用分部积分法
=-∫xdcosx
=-xcosx+∫cosx dx
=-xcosx+sinx+c
扩展资料：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
求不定积分的方法：
1、换元积分法：
可分为第一类换元法与第二类换元法。
第一类换元法（即凑微分法）
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
2、分部积分法
公式：∫udv=uv-∫vdu
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx，这就是分部积分公式
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv
