Question

怎样判断函数的有界性，求具体判断步骤方法。

Answer 1

方法有3个：

1.理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2.计算法：切分(a,b)内连续

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3.运算规则判定：在边界极限不存在时

有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）

有界 x 有界 = 有界

扩展资料：

函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。

在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一直连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。

比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。

参考资料：百度百科：有界性定理

Answer 2

判断方法：首先因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

具体判断步骤示例如下图：

扩展资料：

判断二元函数有界性：设tana=y(-π/2<a<π/2)，则有a=arctany  故x^2+a^2 ≥2|xa|，显然x,a不能同时为0，则0≤原式≤√（1/2）=√2/2，故原式有界。

正弦函数周期T=2π；余弦函数周期T=2π；正切函数周期T=π；余切函数周期T=π。

Answer 3

（1）有界（2）无界

第一个式子， 可以用求极限的方法，对第一个式子求x→0时，极限是0；x趋于∞时，极限也是0，所以无界；

第二个式子，x→∞时候，x无界，cosx有界，乘积的结果是无界的，因此函数无界

拓展资料

设f(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M≥0，使得|?(x)|≤M，则称?(X)是区间E上的有界函数。

正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

参考资料

360百科 有界性

Answer 4

看到一个函数要判断它是否有界
第一步：找无定义点。
第二步：看无定义点的左右极限是否相等。
结论：左极限=右极限→极限存在→有界
左极限≠右极限→极限不存在→无界
注意：极限=∞为极限不存在
举例说明：tanx的定义域为(x≠kπ／2)，所以π／2为他的无定义点，对tanx在x=π／2取极限，结果为∞，极限不存在，所以tanx在π／2处无界。只要给的区间含有π／2则tanx在此区间无界。

Answer 5