Question

如图,点C为线段AE上一动点(不与A,E重合)在AE的同侧作等边△ABC的等边△CDE

如图,点C为线段AE上一动点(不与A,E重合)在AE的同侧作等边△ABC的等边△CDE,AD,BE交于点O，AD,BC交于点M，BE,CD交于点N。求证：①OC平分∠AOE；②OB+OC=OA；③DM=DE

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CA，且∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠CBO、∠CDO＝∠CEO，∴A、C、O、B共圆、C、E、D、O共圆，
∴∠AOC＝∠ABC、∠COE＝∠CDE。
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠CDE＝60°，∴∠AOC＝∠COE，
∴OC平分∠AOE。

第二个问题：
在AO上取一点F，使OF＝OC。
∵∠COF＝∠ABC＝60°，又OF＝OC，∴△OCF是等边三角形，∴FC＝OC，且∠OFC＝60°，
∴∠AFC＝120°。

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，而A、C、O、B共圆，∴∠BOC＝120°。
由∠AFC＝120°、∠BOC＝120°，得：∠AFC＝∠BOC。
由A、C、O、B共圆，有：∠FAC＝∠OBC，结合证得的∠AFC＝∠BOC、FC＝OC，得：
△AFC≌△BOC，∴AF＝OB。

显然，OA＝OF＋AF，结合证得的AF＝OB、作出的OF＝OC，得：OA＝OB＋OC。

第三个问题：　［你可能是忙中出错了，DM不可能与DE相等。］
由三角形外角定理，有：∠CMD＝∠ACB＋∠OAC＞∠ACB＝60°。
而∠MCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°。
∴∠CMD＞∠MCD，∴CD＞DM，又由等边三角形CDE，有CD＝DE，∴DE＞DM。

注：第三个问题需要证明的结论，若不是DE＞DM，则请你补充说明。