Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM，垂足为E，交BC于点D，求证;∠1=∠2

Answer 1

作CF⊥AC交AD于F
在△ABM，△CAF中
AE⊥BM ∴∠1同时和∠ABM，∠CAF互余 ，
∠ABM=∠CAF，AB=CA，∠BAM=∠ACF=90°
△ABM≌△CAF
∴AM=CF=CM，∠AMB=∠CFD=∠1
在△CDM，△CDF中
DC=DC ，CM=CF，∠MCD=∠FCD=45°
∴ △CDM≌△CDF
∴∠CMD =∠CFD，∠CMD= ∠2=∠CFD
又∠AMB=∠CFD=∠1
∴∠AMB=∠CMD
即∠1=∠2

Answer 2

：①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．
②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM= 5a，AE=CG= AB•AMBM= 255a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴ EMCG= AMAC= 1n，则EM= 1n•CG= 1n• 255a，
∴BE=BM-EM= 5a- 1n• 255a= 5n-25n5a，
∴ BDDC= BEGC= 5n-22n．