Question

一道简单高中数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

已知函数f(x)=mx^3+3x^2-3x,m∈R。设m<0，若函数f(x)在（2，+∞)上存在单调递增区间，求m的取值范围。

Answer 1

我来试试，欢迎批评，指正
考查的是导数及其应用 先求导：f'(x)=3mx^2+6x-3
因为函数f(x)在（2，+∞)上存在单调递增区间 所以f'(x) 在这个区间上有大于0的部分
故 只需要f'(2)》0 即可。 m》-3/4

追问

真的只需f'(2)≥0 就可以了吗？

追答

由于导函数是个开口向下的抛物线，只要f'(2)≥0 就可以保证导函数有大于零的部分 也就使原函数存在增区间了。

追问

如果没有m<0这个条件，那么要怎么讨论?

追答

1）m>0 时 导函数这个二次函数将在（2，+∞)上始终有大于0的部分 故m>0成立
2）m=0时 导函数是个一次函数 K大于0 为增函数 （2，+∞)上始终有大于0的部分故 也成立
3）m<0时 同原题

Answer 2

对函数求导：f'(x)=3mx^2+6x-3,开口向下，因为函数f(x)在（2，+∞)上存在单调递增区间，
即在f'(2)≤0
即3mX4+6X2-3≤0,即，m≤-3/4