Question

函数f(x)=ax+b/x2+1是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(1/2)=2/5

1、求实数a、b，并确定函数f(x)的解析式
2、判断f(x)在(-1，1)上的单调性，并用定义证明你的结论
3、解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

是“f(x)=(ax+b)/(x²+1)”吧？
1、
∵f(x)是奇函数
∴f(0)=b/1=b=0
∴f(1/2)=(a/2)/(5/4)=2/5
∴a=1
∴f(x)=x/(x²+1)

2、
证明：
设：-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1)
=[x1(x2²+1) - x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1x2²+x1-x2x1²-x2) / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1
∴x1x2-1＜0，x2-x1＞0，x1²+1＞0，x2²+1＞0
∴f(x1)-f(x2)=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)] ＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(-1，1)上单调递增。

3、个人感觉第三题要加一个“t-1，t∈(-1，1)”
∵t-1，t∈(-1，1)，
∴t∈(0，1)
∵f(x)是奇函数
∴-f(t)=f(-t)
∴f(t-1)+f(t)<0 即：f(t-1)＜-f(t)=f(-t)
又∵f(x)在(-1，1)上单调递增
∴t-1＜-t
∴t＜1/2
又∵0＜t＜1
∴解集为(0，1/2)

如果不加的话：
∵f(x)=x/(1+x^2)。
所以不等式变为：
(t-1)/[1+(t-1)²] + t/(1+t²)＜0
[(t-1)(t²+1)+t(t-1)² + t]/[(1+(t-1)²)(1+t^2)]＜0
因为分母＞0，
所以(t-1)(t²+1)+t(t-1)²+t＜0
即：2t³-3t²+3t-1＜0
t³+(t-1)³＜0
t³-(1-t)³＜0
t³＜(1-t)³
t＜1-t
2t＜1
t＜1/2