Question

求函数f(x)=x²-2ax+3在x属于[0,2]上的值域

Answer 1

f(x)=(x-a)²+3-a²
为开口向上的抛物线，对称轴x=a
1. a≤0时 f(x)在[0,2]上单增
f(x)最小=f(0)=3
f(x)最大=f(2)=7-4a
所以值域为[3, 7-4a]
2. 0≤a≤2时
f(x)最小=f(a)=3-a²
(1) a<1时 f(x)最大=f(2)=7-4a 值域为[3-a², 7-4a]
(2) a>1时 f(x)最大=f(0)=3 值域为[3-a², 3]
3. a≥2时 f(x)在[0,2]上单减
f(x)最小=f(2)=7-4a
f(x)最大=f(0)=3
所以值域为[7-4a, 3]

Answer 2

正负无穷大之间。

追问

不可能吧。

追答

a是一个可变的常数，因为可变，这个抛物线几乎是“围绕”（0,3）这个点，对称轴平行于y轴，左右移动，把所有的情况汇总，就得出如上结论。

Answer 3

代入f(0),f(2)以及f(a) 算出来比较不就行了？
最大值最小值跑不出这三个值的，
所以最简单的方法是这个。
关键时刻，简化思路也好。

理论的方法就是上面的那位朋友的了，关键看你做什么题对吧。
（上面朋友答案是错误的，居然没有f(a)是最值到时候，想象这个图也能知道，当在a=（0,2）时，最大值为f(a),1<a<2,最小值为f(0),0<a<1,最小值为f(1).
a>2,f(0)最小，f(2)最大。
a<0,f(0)最大，f(2)最小。