Question

如图1,D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点,DQ⊥AB交边BC于点Q,RQ垂直BC交边AC于点R，RP垂直AC交边AB于

如图1,D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点,DQ⊥AB交边BC于点Q,RQ垂直BC交边AC于点R，RP垂直AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P。
1. 请说明△PQR是等边三角形的理由
2.若BD=1.3cm,则AE= cm
3.如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度

Answer 1

如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE=2.4
2.4
cm（填空）
（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．
考点：等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．专题：几何综合题．分析：△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．解答：解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，且DQ⊥AB，RQ⊥BC，RP⊥AC，
由三角形内角和为180°，
∴∠P=60°，
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
DB=AR，
2AR=AD，
3DB=AB，
DB= 43cm．点评：本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法．

Answer 2

如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．

（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE=2.4
2.4
cm（填空）
（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．
考点：等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．专题：几何综合题．分析：△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．解答：解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，且DQ⊥AB，RQ⊥BC，RP⊥AC，
由三角形内角和为180°，
∴∠P=60°，
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
DB=AR，
2AR=AD，
3DB=AB，
DB= cm．

Answer 3

解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，且DQ⊥AB，RQ⊥BC，RP⊥AC，
由三角形内角和为180°，
∴∠P=60°，∠PQR=60°，
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
DB=AR，
2AR=AD，
3DB=AB，
DB=
43
cm．
分析：△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法

Answer 4

1.
△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°
根据三角形内角和为180°，
∴∠P=60°
∴△PQR是等边△

2.思路：灵活运用“Rt△中30°所对的边是斜边的一半”。
∠DQB=30°，BD=1.3cm
∴BQ = 2.6cm
CQ = 4 - 2.6 = 1.4CM
∠QRC=30°
∴CR = 2.8cm
AR = 4-2.8 = 1.2cm
∠AER=30°
AE = 2AR = 2.4cm

3.我想是E，D，P三点重合了吧

思路：灵活运用“Rt△中30°所对的边是斜边的一半”。

△BDQ≌△RQC≌△ADR
DB = AR
2AR = AD
3DB = AB
DB = 4/3 cm

Answer 5

解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，且DQ⊥AB，RQ⊥BC，RP⊥AC，
由三角形内角和为180°，
∴∠P=60°，∠PQR=60°，
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
DB=AR，
2AR=AD，
3DB=AB，
DB=
43
cm．
分析：△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法

Answer 6

如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE=2.4
2.4
cm（填空）
（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．
考点：等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．专题：几何综合题．分析：△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．解答：解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，且DQ⊥AB，RQ⊥BC，RP⊥AC，
由三角形内角和为180°，
∴∠P=60°，
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4CM，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
DB=AR，
2AR=AD，
3DB=AB，
DB= 43cm．点评：本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法．