数学 等式的证明
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∵1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c),
∴(ab+bc+ca)(a+b+c) = abc,
∴(a+b)(b+c)(c+a) = a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²+2abc = 0,
∴a+b, b+c, c+a中至少有一个是0.
由对称性, 不妨设b+c = 0, 即b = -c.
则对任意奇数n, 有b^n = (-c)^n = -c^n.
因此1/a^n+1/b^n+1/c^n = 1/a^n+1/b^n-1/b^n = 1/a^n = 1/(a+b+c)^n.
∴(ab+bc+ca)(a+b+c) = abc,
∴(a+b)(b+c)(c+a) = a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²+2abc = 0,
∴a+b, b+c, c+a中至少有一个是0.
由对称性, 不妨设b+c = 0, 即b = -c.
则对任意奇数n, 有b^n = (-c)^n = -c^n.
因此1/a^n+1/b^n+1/c^n = 1/a^n+1/b^n-1/b^n = 1/a^n = 1/(a+b+c)^n.
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