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第一种证明方法，就是同时除以b^n后，变成了
[1+(a1/b)][1+(a2/b)].................[1+(an/b)]>=[1+(a/b)]^n
然后
设a/b=x
ai/b=xεi
这其实就是在a/b和ai/b建立一种关系
然后证明∏(1+xεi)>=(1+x)^n
∏(1+xεi)可以根据根与系数的关系展开。
题目中错了，第二项应该是∑∑(i从1到j，j从i到n) εiεj
所以
∑∑(i从1到j，j从i到n) εiεj
=ε1ε2+ε1ε3+ε1ε4+...................+ε1εn+
ε2ε3+ε4ε3+...................+ε2εn+
.......................
εn-1εn
共c(n,2)项。
然后根据基本不等式
ε1ε2+ε1ε3+ε1ε4+...................+ε1εn+
ε2ε3+ε4ε3+...................+ε2εn+
.......................
εn-1εn
>=c(n,2)(上面那个c(n,2)项的积)^(1/c(n,2))
=c(n,2)
往后的你就明白了。。。
2
这个题是不能用jensen不等式的。
如果是(a1+a2+........+an)/n=b
然后证明(a1+b)(a2+b)........(an+b)<=(a+b)^n的话，
可以化成ln(a1+b)+ln(a2+b)+........+ln(an+b)<=nln(a+b)
然后设y=ln(x+b)
用jesnsen不等式来证明。
但是这个题不能用啊。
可以用柯西不等式的推广形式，
这个不等式在x1：x2：.....：xn=y1：y2：.....：yn时候取到等号。
所以
(a1+b)(a2+b)..........(an+b)>=[(a1a2------an)^(1/n)+(b^n)^(1/n)]^n=(a+b)^n
在a1=a2.....=an=a时候取到等号。
还可用赫尔德不等式，Jensen不等式等，
其中最简单的是用赫尔德不等式.
以下用Jensen不等式和基本不等式证明：
a1、a2、...、an∈R+,则
a1+a2+...+an≥n·(a1·a2·...·an)^(1/n).(基本不等式)
构造上凸函数：f(t)＝ln(t+b),
则依Jensen不等式得
f(a1)+f(a2)+...+f(an)≥nf[(a1+a2+...+an)/n]
→ln(a1+b)+ln(a2+b)+...+ln(an+b)
≥nln[(a1+a2+...+an)/n+b]
≥nln[(a1·a2·...·an)^(1/n)+b]
＝nln(a+b)
＝ln(a+b)^n.
∴(a1+b)(a2+b)...(an+b)≥(a+b)^n,原不等式得证。
用数学归纳法最不用花脑筋，但运算量最大！
嗯，那请问下数学归纳法大概能怎么做。
数学归纳法不用什么技巧，无非：证n＝1时成立，假设n＝k时成立，再证n＝k+1时成立，则原不等式成立。
谢谢回答，已经搞懂了这种方法
