Question

高中数学不等式

请各位帮忙解释下第一个证明方法和给出第二个方法的证明。
如可以，请给出别的解法

Answer 1

1

第一种证明方法，就是同时除以b^n后，变成了

[1+(a1/b)][1+(a2/b)].................[1+(an/b)]>=[1+(a/b)]^n

然后

设a/b=x

ai/b=xεi

这其实就是在a/b和ai/b建立一种关系

然后证明∏(1+xεi)>=(1+x)^n

∏(1+xεi)可以根据根与系数的关系展开。

题目中错了，第二项应该是∑∑(i从1到j，j从i到n)  εiεj

所以

∑∑(i从1到j，j从i到n)  εiεj

=ε1ε2+ε1ε3+ε1ε4+...................+ε1εn+

           ε2ε3+ε4ε3+...................+ε2εn+

                                  .......................

                                                   

                                                   εn-1εn

共c(n,2)项。

然后根据基本不等式

ε1ε2+ε1ε3+ε1ε4+...................+ε1εn+

           ε2ε3+ε4ε3+...................+ε2εn+

                                  .......................

                                                   

                                                   εn-1εn

>=c(n,2)(上面那个c(n,2)项的积)^(1/c(n,2))

=c(n,2)

往后的你就明白了。。。

2

这个题是不能用jensen不等式的。

如果是(a1+a2+........+an)/n=b

然后证明(a1+b)(a2+b)........(an+b)<=(a+b)^n的话，

可以化成ln(a1+b)+ln(a2+b)+........+ln(an+b)<=nln(a+b)

然后设y=ln(x+b)

用jesnsen不等式来证明。

但是这个题不能用啊。

可以用柯西不等式的推广形式，

这个不等式在x1：x2：.....：xn=y1：y2：.....：yn时候取到等号。

所以

(a1+b)(a2+b)..........(an+b)>=[(a1a2------an)^(1/n)+(b^n)^(1/n)]^n=(a+b)^n

在a1=a2.....=an=a时候取到等号。

Answer 2

本题证明方法较多，比如，除楼主说的，
还可用赫尔德不等式，Jensen不等式等，
其中最简单的是用赫尔德不等式.
以下用Jensen不等式和基本不等式证明：

a1、a2、...、an∈R+,则
a1+a2+...+an≥n·(a1·a2·...·an)^(1/n).(基本不等式)
构造上凸函数：f(t)＝ln(t+b),
则依Jensen不等式得
f(a1)+f(a2)+...+f(an)≥nf[(a1+a2+...+an)/n]
→ln(a1+b)+ln(a2+b)+...+ln(an+b)
≥nln[(a1+a2+...+an)/n+b]
≥nln[(a1·a2·...·an)^(1/n)+b]
＝nln(a+b)
＝ln(a+b)^n.
∴(a1+b)(a2+b)...(an+b)≥(a+b)^n,原不等式得证。

用数学归纳法最不用花脑筋，但运算量最大！

追问

嗯，那请问下数学归纳法大概能怎么做。

追答

数学归纳法不用什么技巧，无非：证n＝1时成立，假设n＝k时成立，再证n＝k+1时成立，则原不等式成立。

Answer 3

第一种种证明方法可行，但是求和符号的标注有问题，应该是多少个ε相乘，求和下标写成多少个标号，这代表从n个树中抽出3个ε项相乘，这样的求和项总共就是Cn3(抱歉，打不出来），再由算术平均数大于几何平均数，而几何平均数正好是相应的组合数，所以每个求和都大于对应的后面的各项。原不等式得证。

追问

谢谢回答，已经搞懂了这种方法