Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c过A(-1,0)B(2,0)C(0,-2)顶点坐标为M(1/2,-9/4)，

（接上）问在对称轴右侧是否有一点P，使三角形APC为直角三角形？求所有P点坐标。（过程，谢谢）

Answer 1

【解】

根据A、B、C三点计算出y=x²-x-2

则y的对称轴为x=-b/2a=1/2

连接AC，以AC线段中点为圆心，1/2|AC|长为半径画圆O

根据A、C点坐标计算出AC线段所在直线的方程为y=-2x-2，则AC线段中点O坐标为(-1/2,-1)

|AC|=√(1²+2²)=√5

则，圆O的方程为：(x+1/2)²+(y+1)²=5/4

如果抛物线的对称轴与圆无交点，则不存在P点；如果有一个或两个交点，则存在一个或多个P点满足题意。

则：将x=1/2代入圆的方程，解对于Y的方程的根的个数：

(1/2+1/2)²+(y+1)²=5/4——>(y+1)²=19/16——>y=(-4±√19)/4

说明，对称轴与圆具有两个交点，则在抛物线右侧，存在多个P点符合△APC为直角三角形的条件，P点轨迹为：

(x+1/2)²+(y+1)²=5/4  [x>1/2，(-4-√19)/4<y<(-4+√19)/4]

追问

我们还没有学到圆，可不可以用别的方法解啊

追答

根据M点得知抛物线的对称轴为x=1/2
设过Ａ点的直线L1：y=kx+b (k≠0,)，过A点，解得：y=kx+k
同样，设过C点的直线L2,：y=k'x+c，过C点，解得：y=k'x-2
要求得符合条件的P点，则L1与L2互相垂直，垂足为P
所以，kk'=-1，联解L1、L2方程，得到P点坐标
kx+k=-x/k-2——>x=-(k²+2)/(k²+1)，y=-k(k²+3)/(k²+1)
因为P点要处于X=1/2右侧，所以，X>1/2
∴-(k²+2)/(k²+1)>1/2——>3k²+5k²k无解
所以，不存在符合题意的P点。
【与上面回答矛盾，我一时没发现问题出在什么地方，你先自己看看】

追问

过C做CP1垂直于AC，过A做AP2垂直于AC，也可以啊，这两个该怎么求?