Question

线代高手进，问个实际的问题

行列式的本质是什么？为什么要定义成那么怪的形式？还有他映射了现实生活中的那些东西？
请从本质上说明行列式到底是个什么东西，别说什么多做题就行了之类的话。为什么行列式的符号和绝对值的符号是一样的，它们之间是否有什么本质上一样的东西。谢谢

Answer 1

从抽象一点的角度看，行列式det本质是一个定义域为n阶方阵的函数，并且满足如下三个条件：（请注意，n阶方阵可以看作n个n维的列向量）

(1). 列线性。即此函数关于列向量是线性的。
(2). 反对称。即此函数关于列向量反对称，也就是说交换相邻两列，det变为相反数。
(3). det(I)=1.

可以证明，满足这三个条件的函数是存在且唯一的，就是行列式函数。这个可以作为行列式的定义，虽然有点抽象，但这种观点较高，反映了更深的本质。另外，定义中的"列"都换成"行“也是可以的~~

行列式的直观意义其实很明显。把n阶方阵看作n个n维的向量（列或行均可），它的行列式刻画了这n个向量”张成“的平行多面体的”n维有向体积". 它的一个推论就是：一方阵满秩当且仅当其行列式非0.

以n=2或3为例，当n=2时，2阶方阵的行列式就相当于它的2个列向量（或行向量）张成的平行四边形的有向面积。而当n=3时，3阶方阵的行列式就相当于它的3个列向量（或行向量）张成的平行六面体的有向体积，也就是这三个向量的混合积。

以上是比较好理解的直观，下面说的一些或许LZ暂时理解起来有难度~~

方阵可以看做线性变换的一种表示（取定一组基后）。按这种观点，行列式是这个线性变换对体积元的拉伸或压缩系数。所以在多元定积分上，对积分变量做变换以后要乘上该变换行列式的绝对值。

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至于和绝对值符号一样，这绝对是个意外……形式怪嘛，这个木有办法:( 谁让你非要写成全展开式呢~O(∩_∩)O~其实用多了也就不觉得怪了。

多说几句~LZ能提出这样的问题是非常赞的！说明很善于思考。估计你用的线性代数/高等代数的教材是一上来就讲行列式那种，也没有说它的直观意义和深层次背景。如果想了解得稍深一点，不妨看看北大版《高等代数简明教程》一书（蓝以中著），此书作为入门教材观点高一些，那里就是按我说的抽象的方法定义行列式的。不止如此，那本书比较重视线性映射与线性变换，对于线性代数整体的理解也很有帮助。

追问

果然还是有高手啊，前面的部分我真不太理解，你说的面积那个地方我有点感悟，之前知道平面上三点ABC构成的三角形可以用S=1/2 * (AB * AC)来算面积, 空间中ABCD构成的三菱体可以用V=1/6 * AB,AC,AD的混合积来求体积，这样算下来还真是一致(好像6个三菱锥加起来就是一个平行6面体啊),不知道是不是这样理解的

另外想问下有没有相关的书来介绍这部分的内容呢，谢谢

Answer 2

这个问题…呵呵，行列式的本质应该是对一组取值为标量的线性函数的线性运算。说实话，每一个刚学行列式的学生都对他的定义不理解……有什么办法…他看起来是很抽象的一个问题，其实，他比高数简单多了，做题做多了，你就会发现他的题目类型很固定，套路更是固定的。
你如果问他在现实生活中的映射，你们可能接触的还很基础，行列式在生活中还是有用的，比如，工厂生产了一批各种厚度的钢材，让你估算最优取厚范围，就能用到行列式。大学学习的行列式主要还是为高数打基础的。
总之一句话：存在的，就是合理的，就是有用的！
呵呵，希望我的回答能够对你有所帮助！

Answer 3

行列式其实是线性方程线的系数，列成行列式可以方便多元线性方程线求解的探讨。
映射了现实生活中多元方程求解及最优解