Question

设P是矩形ABCD外的一点，PA垂直于PC，求证：PB垂直于PD

要两种方法
或者明确说出只有一种方法。

Answer 1

【证法1】

设AC与BD交于O，连接PO

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD，AO=CO=BO=DO（矩形对角线相等且互相平分）

∴PA⊥PC

∴PO=1/2AC=AO（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴PO=BO=DO

∴∠OBP=∠OPB，∠ODP=∠OPD

∴∠OBP+∠ODP=∠OPB+∠OPD=∠BPD

∵∠OBP+∠ODP+∠BPD=180°

∴∠BPD=90°

即PB⊥PD

【证法2】

作PN⊥BC于N，交AD于M

则四边形AMNB和CDMN都是矩形【证略】

∴AM=BN，DM=CN

∵PA²=AM²+PM²，PC²=PN²+CN²

   PB²=PN²+BN²，PD²=PM²+DM²

∴PA²+PC²=AM²+PM²+PN²+CN²

   PB²+PD²=BN²+PM²+PN²+DM²=AM²+PM²+PN²+CN²

∴PA²+PC²=PB²+PD²

∵PA⊥PC

∴PA²+PC²=AC²

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD

∴PB²+PD²=BD²

∴△PBD是直角三角形

∴PB⊥PD

Answer 2

证明：设AC、BD相交于点O
连接PO
∵∠APC=90°，由于点O为直角三角形对边中点。
∴PO=OA=OC
∵ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
∴OP=OB=OD
∴∠BPD=90°
即：PB⊥PD

Answer 3

矩形对角线相等。以AC为直径做圆，所以点B,D也在圆上，取圆上在矩形ABCD外一点为P。在圆中与直径连接的三角形是直角三角形。所以PB⊥PD