Question

一道线性代数正定性题目，请帮解答，感谢！

这道题目我是这样想的，设非零列向量X，AX也是列向量，X^T B X= X^T A^T A X = (AX)^T AX
因为(AX)^TAX 大于0（这个大概是a1^2 + a2^2 +...... ，因为a1是列向量之和，所以大于0），所以B是正定性的。 但是题目答案还要分当S>n时，不正定， S<=n时，正定。
所以想请教一下懂的朋友们，帮指出错误之处，或者给出更好的方法（尽量详细一点，理解力不好）！
十分感谢！！！

Answer 1

你的思路是正确的，但却忽视了当X是非零向量时，AX可能是零向量。经济数学团队帮你解答，请及时评价。谢谢！

Answer 2

你的问题在于，如果X非零，AX并不一定非零。所以(AX)^T AX可能为0。当s>n时，AX=0是有非零解的（这时所对应的线性系统方程数n<未知变量数s），这说明存在一个X不为0但是AX为0，所以对这个特定的X来讲(AX)^T AX=0，B不正定。但是当s=n时，A是著名的范德蒙矩阵，det A 在x_i不等于x_j（也即题目所给条件）的时候不为零，也即此时A可逆，AX=0只有非零解。当s<n的时候，A可以添加列拓展成范德蒙矩阵，所以A的各列是线性无关的，仍旧有AX=0只有非零解。AX=0只有非零解也即AX在X不为0的时候也不等于0，所以此时B就是正定的。

追问

也十分感谢您的帮忙！