Question

设函数f(x)=(ax+b)／(1+x2)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1／2)=2／5

若f(-4x+1)+f(x-m)＞0对任意的x∈(-1/2,1/2)都成立，求实数m的取值范围
过程

Answer 1

f(x)为奇函数，则f(0)=b=0。又f(1/2)=2/5，则a=1，得f(x)=x/(1+x^2)。
因f(x)=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)，在x<-1或x>1为增函数；在-1<x<1时候为减函数，若f(-4x+1)+f(x-m)＞0对任意的x∈(-1/2,1/2)都成立，即是f(x-m)>f(4x-1)在x∈(-1/2,1/2)都成立。
讨论：1)当-1/2<x<0时，-3<4x-1<-1，此时f(4x-1)为增函数，要使不等式恒成立，则x-m>4x-1，即是m<-3x+1恒成立，故m<1。
2）当0<=x<1/2时，-1<=4x-1<1此时f(4x-1)为减函数，要使不等式恒成立，则x-m<4x-1，即m>-3x+1恒成立，故m>1/2。
综上所述，当x∈(-1/2,1/2)时有1/2<m<1，f(-4x+1)+f(x-m)＞0恒成立。