Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f﹙x﹚＜0恒成立，证明

证明∶函数y＝f﹙x﹚是R上的减函数

Answer 1

证明：由已知可知：f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0
f(a)=f(a+b)-f(b)，令A=a+b,B=b，则f(A-B)=f(A)-f(B)
设X>Y>0，则f(X)-f(Y)=f(X-Y)
∵X>Y，∴X-Y>0，则f(X-Y)<0
故f(X)-f(Y)<0
即对于任意X>Y>0，总有f(X)<f(Y)
所以f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(x)<0=f(0)
又∵f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)
∴f(x)在定义域R上为奇函数
∴根据奇函数的性质，f(x)在(-∞,0)上为减函数，且f(x)>0=f(0)

综上所述：
f(x)在定义域R上为减函数

Answer 2

（1）
设x1<x2，则x2-x1>0
f(x2)
=f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为对于任意的x>0，恒有f(x)<0
所以由x2-x1>0可得，f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)<0
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数

（2）
f(a+b)=f(a)+f(b)
令a=0，则有
f(0+b)=f(0)+f(b)
f(b)=f(0)+f(b)
f(0)=0
令b=-a
f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(0)=f(a)+f(-a)
0=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)
且函数的定义域是R
所以f(x)是R上的奇函数