Question

f(x)=(ax^2+1)/(bx+c) (a,b,c属于Z)为奇函数，且f1=(2),f(2)﹤3

（1）求函数解析式
2 当x属于（0，正无穷大）时，讨论函数的单调性
3 求函数在[1,2]上的值域

Answer 1

1. f(x)为奇函数
则f(-x)=-f(x)
即(ax²+1)/(-bx+c)=-(ax²+1)/(bx+c)
解得c=0
f(1)=(a+1)/(b+c)=(a+1)/b=2
a+1=2b (1)
f(2)=(4a+1)/(2b)=(4a+1)/(a+1)=4-3/(a+1)<3
3/(a+1)>1
解得-1<a<2
因a属于Z
所以a=1
代入(1)b=1
所以f(x)=(x²+1)/x=x+1/x
2. 当x属于（0，正无穷大）时，f(x)≥2√(x*1/x)=2
当且仅当x=1/x，x=1/2时等号成立
所以当0<x<1/2时 单减
x≥1/2时，单增
3. 在[1,2]上单增
所以f(x)最小=f(1)=2
f(x)最大=f(2)=2+1/2=5/2
所以值域[2, 5/2]