Question

已知函数g(x)=(x+1)/(x+2),f(x)=x+1/g(x)

求证函数f(x)在区间(0,+∞）上是增函数

Answer 1

证明：f(x)=x+(x+2)/(x+1)=x+1+1/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)
令(x+1)=t，x>0，
则t>1，
设0<x1<x2，即，1<t1<t2，
则，f(x1)-f(x2)=(t1-t2)-(t1-t2)/(t1t2)=(t1-t2)[1-1/(t1t2)]
因为1<t1<t2，所以，1-1/(t1t2)>0，t1-t2<0，
f(x1)-f(x2)<0，
根据函数的性质，f(x)在区间(0,+∞）上是增函数.

Answer 2

化简得到f（x）=（X^2+2x+2)/(x+1)，用罗比达法则得到f`（x）=2X由于设定区间上f`（x）为单调增函数，而f（0）=2大于0，所以f（x）为单调增函数

Answer 3

在定义域内任意取两个数 x2＞x1＞0
f（x2）-f（x1）
=x2-x1+g（x2）-g（x1）
=x2-x1+(x2+1)/(x2+2)-(x1+1)/(x1+2)
=…… （展开，化简，整理）
=（x2-x1）×（x2-x1+4）
x2＞x1＞0 所以 x2-x1＞0 x2-x1+4＞4
所以（x2-x1）×（x2-x1+4）＞0
因为 在定义域内任意取两个数 x2＞x1＞0
f（x2）-f（x1）＞0
所以函数f(x)在区间(0,+∞）上是增函数

Answer 4

g（x）在(0,+∞）上为减函数，则1/g(x)在(0,+∞）为增函数，而函数x在(0,+∞）为增函数，则f(x)=x+1/g(x)在(0,+∞）上为增函数

Answer 5

f(x)=x+1/g(x)=x+(x+2)/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)
在区间(0,+∞）
f'(x)=1-1/(x+1)^2>0
所以函数f(x)在区间(0,+∞）上是增函数