高一数学向量 三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，证：点O是三角形的重心
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OA·OB的意义为2倍的三角形OAB的面积
由题意，三角形OAB，OBC，OAC的面积相等，且均等于1/3的三角形ABC的面积
延长AO交BC于P
可得OP=1/3AP(BC边上做高，可得高之比为1:3，再根据三角形相似可得)
根据OP=1/3AP，再推得三角形AOB的面积=2×三角形OBP的面积=三角形BOC的面积
因此可得OP平分三角形OBC的面积，BP=CP
同理可得BO，CO的延长线平分其对边
因此O为三角形的重心
由题意，三角形OAB，OBC，OAC的面积相等，且均等于1/3的三角形ABC的面积
延长AO交BC于P
可得OP=1/3AP(BC边上做高，可得高之比为1:3，再根据三角形相似可得)
根据OP=1/3AP，再推得三角形AOB的面积=2×三角形OBP的面积=三角形BOC的面积
因此可得OP平分三角形OBC的面积，BP=CP
同理可得BO，CO的延长线平分其对边
因此O为三角形的重心
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