Question

函数导数题

（①）设函数f(x)=x^3+ax^2-a^2*x+m (a>0)，若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点，求a的取值范围
（②）当x∈[-2,1]时，不等式ax^3-x^2+4x+3≥0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

第一题先对f(x)求导可得3x^2 2ax-a^2,划出此函数图像，因为b^2-4ac恒大于0，所以要满足条件必须f(-1)<0同时f(1)<0结合a>0可解出a>3.第二题要使不等式恒成立，则在给定x的区间分为三种情况，x在(-2,1),0,(0,1)三个区间。当x=0时恒成立，其他两种情况，当把x^3除过去时，要注意符号，然后再构造g(x)，对其求导，求其最大值，综合以上情况可得a的范围

Answer 2

楼上已经说了思路，第一题a大于等于3，第二题a小于等于-8或大于等于-6.本来想发图片，但我手机的像素实在太差，看不清楚，我就给个答案好了。你自己再琢磨琢磨吧。。。

Answer 3

一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式：c, x (m为有理数)的导数。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三、双基透视
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
3．曲线的切线
　用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为曲线上一点，过点的切线方程为：
4．瞬时速度
用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，
5．导数的定义
　对导数的定义，我们应注意以下三点：
　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．
　(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数．
　(3)由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
　　(a)求函数的增量；
　　(b)求平均变化率；
　　(c)取极限，得导数。
6．导数的几何意义
　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为
7、导数与函数的单调性的关系
一与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
二时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
三与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
四单调区间的求解过程，已知
（1）分析 的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
五函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。
8、已知
（1）若恒成立 ∴为上
∴对任意 不等式 恒成立
（2）若恒成立 ∴ 在上
∴对任意不等式 恒成立
四、热点题型分析
题型一：利用导数定义求极限
例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
　　（1）； （2）
题型二：利用导数几何意义求切线方程
例2．．已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。
题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
例3已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

例4：已知三次函数在和时取极值，且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
例5：已知函数f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1，f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行．
（1）求实数a的值；
（2）求f(x)的单调递减区间；
（3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
例6：已知函数在处取得极值，
（1）用表示；
（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.
例7：已知
(1)当时, 求证在内是减函数;
(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.
例8：设函数．
（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数 的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．
题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。
例9：所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）设△QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出m的最小值；
（3），试求出点P横坐标的取值范围.
例10：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
例11：设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.

例12：（2006全国卷）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。
例13：已知函数，其中是的导函数
（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线 只有一个公共点
例14．（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
c2恒成立，求c的取值范围。<〔－1，2〕，不等式f（x）�0�2（2）若对x
题型六：利用导数研究方程的根
例15：已知平面向量 =( ,－1). =( , ).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使 = +(t2－3) ， =-k +t ，⊥，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
例16：设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
例17：已知函数 .
（Ｉ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
题型七：导数与不等式的综合　
例18：已知函数，设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则。
例19：设在上是单调函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设≥1，≥1，且，求证： .
例20：已知为实数，函数
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围
（2）若，（Ⅰ）求函数的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立
例21：设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。
（I）用，，表示；
（II）证明：当时，；
题型八：导数在实际中的应用
例22：某工厂每月生产x吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为800（万元），可变成本为20x（万元）．市场对这种商品的需求函数为p=100－x（0＜x＜100＝，其中p为这种商品的单价（单位：万元），x为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）．
（1）把月利润y（万元）表示为产量x（吨）的函数（利润＝销售收入－成本）；
（2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？

题型九：导数与向量的结合
例23：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使
（1）求函数关系式；
（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。
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