Question

如图,CD是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,∠AOD=60°,B为弧AD的中点

如图,CD是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,∠AOD=60°,B为弧AD的中点，在直径CD上求作一点P，使PA+PB的值最小，并求PA+PB的最小值

Answer 1

作AN⊥CD，交CD于N，延长AN，交圆连于M，接BM,BM与CD的交点就是所求的点P

追问

并求PA+PB的最小值

追答

作AN⊥CD，交CD于N，延长AN，交圆于M，连接BM,BM与CD的交点就是所求的点P

连接OB、OM、AP
∵B为弧AD的中点
又∠AOD=60°
∴∠BOD=½∠AOD=30°
∵AN⊥CD
∴∠ANO＝∠MNO=90°
∴△AON和△MON为RT△
∵在RT△AON和RT△MON中
OA=OM
ON=ON
∴RT△AON≌RT△MON
∴∠AON=∠MON=60°
∴∠BON=∠BOD+∠MON=90°
∵圆O半径为一
∴OM=OB=1
又∠BOM=90°
∴BM²=1²+1²
∴BM=根号2
∵在△AOP和△MOP中
AO=MO
∠AOP=∠MOP
OP=OP
∴△AOP≌△MOP
∴AP=MP
又∵AP+BP=MP=BP=BM
∴AP+BP=根号2