Question

两道求极限的题！！急！

1、lim(1! + 2! + 3! +……n!)/n! =?

2、lim[sin π√（n^2 + n)]^2 =?

两道都是n趋近于无穷的。

Answer 1

(1)Xn=(1! + 2! + 3! +……n!)/n!=1/n!+......+1/n(n-1)+1/n +1
可见1<Xn<1+1/n+(n-2)/n(n-1)
用夹逼准则，得limXn=1.

(2)倍角公式，[sin π√（n^2 + n)]^2 =1/2-1/2cos 2π√（n^2 + n） ,（注意-2nπ是cos的周期）
cos 2π√（n^2 + n) =cos 2π[√（n^2 + n)-n](方括号内分子有理化) =cos 2πn/[√（n^2 + n)+n],其极限是cosπ=-1,
因此，原式=1/2+1/2=1.

Answer 2

1、lim(1! + 2! + 3! +……n!)/n! =1
2、极限不存在