Question

已知圆C:x^2+y^2+2x-4y+3=0。从圆外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且┃PM┃=┃PO

已知圆C:x^2+y^2+2x-4y+3=0。从圆外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且┃PM┃=┃PO┃，求点P的轨迹方程

Answer 1

圆C方程：（x+1）^2+(y-2)^2=2,所以圆心C（-1，2），R^2=2

设P点的坐标为（x，y）

则｜PM｜^2=|PC|^2-R^2=（x+1）^2+(y-2)^2-R^2=x^2+y^2+2x-4y+3
|PO|^2=x^2+y^2

因为｜PM┃=┃PO┃，

所以x^2+y^2+2x-4y+3=x^2+y^2，得点P的轨迹方程：2x-4y+3=0

把轨迹方程代入,消去y，

得｜PM｜^2=（x+1）^2+(1/2x+3/4-2)^2-2

=5/4（x^2+3/5x)+9/16

=5/4(x+3/10)^2+9/20

所以当x=-3/10时，｜PM｜取得最小值

所以最小时的P点的坐标为（-3/10，3/5）

Answer 2

圆C方程：（x+1）^2+(y-2)^2=2,所以圆心C（-1，2），R^2=2

设P点的坐标为（x，y）

则｜PM｜^2=|PC|^2-R^2=（x+1）^2+(y-2)^2-R^2=x^2+y^2+2x-4y+3
|PO|^2=x^2+y^2

因为｜PM┃=┃PO┃，

所以x^2+y^2+2x-4y+3=x^2+y^2，得点P的轨迹方程：2x-4y+3=0