Question

几道高一数学题求解

国庆长假把知识都忘了，想了好久都不会

1.定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0 求证：f（x）是偶函数

2。若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x/y）=f（x）-f（y）
求 ：若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（1/x）＜2

3.已知1/3≤a≤1，若函数f（x）=ax*x-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N(a)
（1）.求g（a）的函数表达式
（2）.判断函数g（a）在区间[1/3,1]上的单调性，并求出g（a）的最小值

上面的x/y 1/3这些式分数，x*x为x的平方，求解求解求解

Answer 1

1`在恒等式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中，
令x=y=0，得f(0)+f(0)=2f(0)f(0)，
f(0)[f(0)-1]=0，
∵f(0) ≠0，
∴f(0)-1=0，即f(0)=1；
由上知f(0)=1，
在恒等式中，令x=0，得
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
f(-y)=f(y)，
∴由偶函数的定义可知，f(x)为偶函数.
2·由定义域知x＞0
f（x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3被根号17 -3）/2
3·第一问：f(x)的对称轴方程为x=-b/2*a=1/a
由于1/3<=a<=1,则1<=1/a<=3,抛物线开口方向朝上，故在区间[1,3]上的最小值为：
f(1/a)=1-1/a,
f(1)=a-1,f(3)=9*a-5
1、当1<=1/a<2时，最大值为f(3)=9*a-5,则g(a)=9*a+1/a-6 ,1/2<a<=1
2、当2<1/a<=3，最大值为f(1)=a-1,则g(a)=a+1/a-2 , 1/3<=a<1/2
3、当1/a=2时，g(a)=1/2 ,a=1/2
第二问：对g(a)求导，当1/3<=a<1/2 ，令g(a)'=1-1/a*a<0,得0<a<1,故g(a)在[1/3,1/2]上单调递减；
当1/2<a<=1，令g(a)'=9-1/a*a>0,得a>1/3,故g(a)在[1/2,1]上单调递增，故g(a)的最小值为：
g(1/2)=1/2

Answer 2

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