Question

关于相似三角形的题

如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB*AF=CB*CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=x(cm)(x＞0),四边形BCDP的面积为y(cm).
①求y关于x的函数关系式
②当x为何值时，△PBC的周长最小，求出y。

Answer 1

证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴ CD/AB=CF/CB，即 CD/AB=AF/CB．
∴AB•AF=CB•CD．

解：（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC= 12　(勾股定理)
∴CF=AF=6
∴ y=12(x+9)×6=3x+27（x＞0）
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．
由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．
此时DP=DE，PB+PA=AB．
由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，
△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得AE=BE= 1/2AB= 15/2，
EF= 9/2．
∴AF：BC=AD：AB，即6：9=AD：5．
∴AD=10．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+ 9/2= 25/2．
∴当x= 25/2时，△PBC的周长最小，
此时y= 129/2
望采纳