Question

已知函数f(x)=2^x+2^(-x)a 常数a属于R

已知函数f(x)=2^x+2^(-x)a 常数a属于R
1 若a=-1 且f(x)=4 求x的值
2 若a<=4 求证函数f(x)在[1,正无穷)上是增函数
3 若存在x属于[0,1] 使得f(2x)>[f(x)]^2成立 求实数a的取值范围

Answer 1

1、f(x)=2^x-2^(-x)=4，2^x，2^(-x)>0
即(2^x)²-4·2^x-1=0
(2^x-2)²=5
解得2^x=2+√5或2^x=2-√5(舍去)
故x=log2(2+√5)
2、
法一、导数；
法二、定义；
设1≤x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(2^x1-2^x2)(1-a/(2^(x1+x2)))
∵1≤x1<x2
∴2≤x1+x2
也就有
2^(x1+x2)≥4
若a<=4
则1-a/(2^(x1+x2))≥0
又(2^x1-2^x2)<0【2^x在R上是增函数】
∴f(x1)-f(x2)=(2^x1-2^x2)(1-a/(2^(x1+x2)))≤0
f(x1)≤f(x2)
∴当a<=4时， 函数f(x)在[1,正无穷)上是增函数.
3、f(2x)>[f(x)]^2
即(2^x)²+a/(2^x)²>(2^x+a/2^x)²，整理，得
(2^x)²+a/(2^x)²>(2^x)²+2a+(a/2^x)²
等价于
a/(2^x)²>2a+a²/(2^x)²
(a-a²)/(2^x)²>2a
当x属于[0,1]时
(2^x)²属于[1,4]
因此，要使(a-a²)/(2^x)²>2a成立
i、当a>0时
(a-a²)/2a>(2^x)²
即(1-a)/2>4
解得：a<-7，矛盾；
ii、当a=0时，不成立；
iii、当a<0时，
(a-a²)/2a<(2^x)²
即
(a-a²)/2a<1
解得
a>-1
综上，实数a的取值范围为
(-1,0)
【End】

Answer 2

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