Question

求满足下列条件的函数f(x)的解析式

(1)f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+4
(2)f(x)是二次函数,且f(x+4)+f(x-1)=x^2-2x

Answer 1

(1)设原函数为：f(x)=mx+n
则f[f(x)]=m(mx+n)+n=m^2x+mn+n=4x+4
所以m^2=4 mn+n=4
m=2或-2
1）当m=2时，n=4/3
2）当m=-2时，n=-4
所以该一次函数为：f(x)=2x+4/3或f(x)=-2x-4
(2)设原函数为f(x)=ax^2+bx+c
则f(x+4)+f(x-1)=a(x+4)^2+b(x+4)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2ax^2+(6a+2b)x+17a+3b+2c=x^2-2x
所以有：
2a=1
6a+2b=-2
17a+3b+2c=0
解得a=1/2，b=-5/2，c=-1/2
所以该函数为：f(x)=1/2x^2-5/2x-1/2

Answer 2

(1)f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+4
设f(x)=kx+b 则有：
f[f(x)]=k(kx+b)+b=k^2x+kb+b=4x+4
可得：k^2=4, kb+b=4
当k=2时，b=4/3 此时：f(x)=2x+4/3
当k=-2时，b=-4,此时：f(x)=-2x-4
(2)f(x)是二次函数,且f(x+4)+f(x-1)=x^2-2x
设：f(x)=ax^2+bx+c
当x=1时，有：25a+5b+c+c=-1
当x=0时，有：16a+4a+c+a-b+c=0
当x=-1时，有：9a+3b+c+4a-2b+c=3
联立上述方程解得：a=1,b=-7/2,c=-13/4
所以有：f(x)=x^2-7x/2-13/4

Answer 3

解：（1）设f(x)=kx+b
∵f[f(x)]=4x+4
∴f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x+4
k²x+kb+b=4x+4
k²=4，kb+b=4
∴k=2，b=4/3或k=-2，b=-4
解析式f(x)=2x+4/3,或者f(x)=-2x-4
(2)设f（x）=ax²+bx+c
则f(x+4)+f(x-1)=a（x+4）²+b（x+4）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=x²-2x
2ax²+（6a+2b)x+15a+3b+2c=x²-2x
2a=1,6a+2b=-2，15a+3b+2c=0
解得：a=1/2，b=-5/2，c=0
则二次函数的解析式为f(x)=1/2x²-5/2x

Answer 4

(1)f(x)=2x+4/3
(2)f(x)=2x^2-4x-11