Question

一道线性代数题目，感谢帮忙解答！

设3阶实对称矩阵A有特征值λ1<λ2<λ3,证明二次型f(x1,x2,x3) = X^TAX 对任意的X=[x1,x2,x3]^T,
恒有λ1X^TX <= X^TAX <= λ3X^TX 。十分感谢

Answer 1

设y1、y2、y3分别是对应λ1、λ2、λ3的特征向量。

任意x，有：x=a1y1+a2y2+a3y3，其中，a1、a2、a3为实数
Ax = A(a1y1+a2y2+a3y3) = a1Ay1+a2Ay2+a3Ay3 = a1λ1y1+a2λ2y2+a3λ3y3
x^TAx = (a1y1+a2y2+a3y3) (a1λ1y1+a2λ2y2+a3λ3y3)
因为y1、y2、y3相互正交，所以：
x^TAx = λ1 a1^2 (y1,y1) + λ2 a2^2 (y2,y2) + λ3 a3^2 (y3,y3)
而：λ1 x^Tx = λ1 (a1y1+a2y2+a3y3) (a1y1+a2y2+a3y3)
= λ1 a1^2 (y1,y1) + λ1 a2^2 (y2,y2) + λ1 a3^2 (y3,y3)
由于 a2^2 (y2,y2) >= 0，a3^2 (y3,y3) >= 0，且λ1<λ2<λ3：

x^TAx >= λ1 x^Tx
另一个也用同样的方式证明。

追问

你好，我想问一下，如果A不是对角阵怎么办？就是不是只有对角λ1、λ2、λ3，这样Ax还是a1λ1y1+a2λ2y2+a3λ3y3？

追答

A是不是对角阵均可。Ay1=λ1y1，所以：A(a1y1)=λ1(a1y1)

所以：A(a1y1+a2y2+a3y3) = A(a1y1)+A(a2y2)+A(a3y3) = λ1(a1y1)+λ2(a2y2)+λ3(a3y3)

Answer 2

不一定，可以全是0，可以全是1，也可以同时存在（分别存在和同时存在啥区别？）
是否可以解决您的问题？

追问

这是道证明题啊！！请帮忙给一下具体证明过程