Question

如图，c为线段bd上一动点，分别过点b，d作ab垂直bd，ed垂直bd，连接ac，ec，已知ab=5，de=1，bd=8，设cd=x

根据（1）中的规律和结论，请构图求出代数式 √（x^2+4）+√[(12-x)^2+9] 的最小值

Answer 1

本题重在考查"数形结合"的思想,通过构造几何图形,实现求√（x^2+4）+√[(12-x)^2+9]  的最小值的目的.

解:√（x^2+4）+√[(12-x)^2+9]  =√(x^2+2^2)+√[(12-x)^2+3^2].

因此可构造与上图类似的几何图形.

如图,设线段BD=12,作DE垂直BD,且DE=2;作BA垂直BD,且BA=3,连接AE,交BD于C,CD=x.

则CE=√(x^2+2^2),AC=√[(12-x)^2+3^2].根据"两点之间,线段最短"的道理可知:

线段BD上的点到E和A距离的和等于AE时最小.

过点A作ED的垂线,交ED的延长线于F,则DF=AD=3,AF=BD=12,AE=√(AF^2+EF^2)=13.

所以,√(x^2+2^2)+√[(12-x)^2+3^2]最小值为13,即:√（x^2+4）+√[(12-x)^2+9] 最小值为13.

Answer 2

1.用勾股定理：BC=8-x，AC=√[25+(8-X)^2],
CE=√(1+x^2)，（0≤x≤8)。√是根号，^2是平方。
2.当AC+CE有最小值时，AE成一直线，所以此时x=8*1/6=4/3(3分之4），即当C距离D点4/3时，AC+CE最小。
3.问题3相当于把题目改为：AB=3，DE=2,BD=12，然后再做一次，得：式子最小值为24/5（5分之24）。