Question

急！！！！求救

已知函数f（x）是定义域在R上的函数，说对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0.。。。。。1。判断奇偶性？2。在R上是增函数还是减函数？

Answer 1

（1），令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0） ∴f（0）=0
再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x）
∴0=f（x）+f（-x） ∴f（x）=-f（-x）
∵x∈R ∴f（x）是奇函数。
判断函数的奇偶性，主要就是确定f（x）和f（-x）的关系，就是看f（x）±f（-x）=0的关系式。如果f（x）是奇函数，且f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0

（2），令x＞y，由于f（x）是奇函数，且f（x+y）=f（x）+f（y），那么
f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
∵x＞y ∴x-y＞0
根据题意，x-y＞0时，有f（x-y）＞0
∴f（x）-f（y）＞0
∴f（x）＞f（y）
所以，f（x）在R上时单调递增函数。