Question

如图,在等边△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,AD与BE相交于F,CF⊥BE,求AF:BF

Answer 1

三角形AEB全等于DCA，所以∠DAC=∠ABE。所以，∠BFD=60度=∠DCE，外角等于内对角。所以，E,F,D,C四点共圆。所以，∠EDC=∠EFC=90度。所以，在直角三角形EDC中，∠ECD=60度，于是EC=2DC。设等边三角形边长为3，则AE=DC=1。三角形ABE中，运用正弦定理，sin∠ABE/sin∠AEB=1/3.其中
∠AEB=180度-60度-∠ABE。带入，化简即sin∠ABE/sin（60度+∠ABE）=1/3.
也就是，后正弦=3sin∠ABE。

要求的是AF：BF=sin∠ABE/sin（60度-∠ABE）。因为
sin（60度+∠ABE）-sin(60度-∠ABE)=2sin∠ABE×cos60度=sin∠ABE。
所以，sin（60度-∠ABE）=2sin∠ABE。

所以，AF：BF=1/2.

追问

能不能说得简单一点？用初二的数学知识说

Answer 2

过B作AD的垂线，垂足为K
在△ABE和△ACD中
AB=AC
AE=CD
角A=角C=60°，
所以△ABE全等于△ACD
所以角ABE=角CAD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
BD=CE，
角ABD=角BCE，
所以△ABD全等于△BCE
所以角BAD=角CBE，角ADB=角BEC
在△ADC和△AEF中
角FAE=角DAC，
角AEF=角ADC，
所以△ADC相似于△AEF
从而知道角BFD=角AEF=角ADC=60°
所以FK=1/2BF，从而AK=AF+FK=BF，
所以AK-FK=AF，AF:BF=1:2

Answer 3

过B作AD的垂线，垂足为K
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ACB=60°
AB=AC=BC
在△ABE和△ACD中
AB=AC ，
∠BAE=∠ACD，
AE=CD ，
∴△ABE全等于△ACD（SAS）
∴AC=BC
∴EC=BD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD全等于△BCE（SAS)
所以∠BAD∠CBE，∠ADB=∠BEC
在△ADC和△AEF中
∠FAE=∠DAC，
∠AEF=∠ADC，
∴△ADC相似于△AEF
∴∠BFD=∠AEF=∠ADC=60°
∴FK=1/2BF，
∴AK=AF+FK=BF，
∴AK-FK=AF，AF:BF=1:2

我也刚好做这道题....

Answer 4

过B作AD的垂线，垂足为K
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ACB=60°
AB=AC=BC
在△ABE和△ACD中
AB=AC ，
∠BAE=∠ACD，
AE=CD ，
∴△ABE全等于△ACD（SAS）
∴AC=BC
∴EC=BD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD全等于△BCE（SAS)
所以∠BAD∠CBE，∠ADB=∠BEC
在△ADC和△AEF中
∠FAE=∠DAC，
∠AEF=∠ADC，
∴△ADC相似于△AEF
∴∠BFD=∠AEF=∠ADC=60°
∴FK=1/2BF，
∴AK=AF+FK=BF，
∴AK-FK=AF，AF:BF=1:2

Answer 5

过B作AD的垂线，垂足为K
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ACB=60°
AB=AC=BC
在△ABE和△ACD中
AB=AC ，
∠BAE=∠ACD，
AE=CD ，
∴△ABE全等于△ACD（SAS）
∴AC=BC
∴EC=BD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD全等于△BCE（SAS)
所以∠BAD∠CBE，∠ADB=∠BEC
在△ADC和△AEF中
∠FAE=∠DAC，
∠AEF=∠ADC，
∴△ADC相似于△AEF
∴∠BFD=∠AEF=∠ADC=60°
∴FK=1/2BF，
∴AK=AF+FK=BF，
∴AK-FK=AF，AF:BF=1:2