Question

如图,已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F。

若O为AB中点，求证：OF=1/2BE

Answer 1

（只要证明F为AE中点即可，即AF=EF）
∵∠ADB=90°
又∠1=∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=30°
∴∠DEB=60°，∠AFH=60°
∴∠CEF=∠DEB=60°，∠CFE=∠AFH=60°
∴△CEF为等边三角形
（现在只要证明CF=AF即可，其实这里证明∠3=∠4就好,但是我不会,只能想到下面的方法了,唉….）
∵BD=CD
∴∠1=∠BCD
又∵∠1=∠2
∴∠BCD=∠2
∴CD∥AB
根据两条直线平行,内错角相等∴∠3=∠ADC，△CDF是直角三角形
∴CE=DE
设DE=CE=1，利用Rt△BDE的正余弦定理(sin30°=0.5)，可得BE=DE*sin30°=2，BD=DE*cot30°=√3
∴BD=CD=√3
根据正余弦定理，在Rt△CDF中，可得CF=CD*tan30°=1
而BC=BE+CE=3
∴在Rt△BCH中，可得CH=BC*sin30°=1.5
∴FH=CH-CF=0.5
∴在Rt△AFH中，可得AF=FH/sin30°=1
∴CF=AF
∴AF=EF
又∵O为AB中点
根据三角形中位线定理，可知OF∥BE且OF=1/2BE
（好艰难啊。。学了好久都丢了，也不知道有没有更简单的方法。。囧。。希望能帮到你。）

Answer 2

证明：
∵ BD=CD，∠1=∠3
∴ ∠DCB=∠1=∠3
则 四边形ABCD共圆 （同弧上圆周角相等之逆定理）
∴ ∠ACB=∠ADB=90° ，∠1=∠4 （同弧上圆周角相等）
∵ ∠1=∠2=∠3 且 ∠1+∠2+∠3=180°-90°=90°
∴ ∠1=∠2=∠3=30°
∠CEF=∠2+∠3=30°+30°=60°
∵CH⊥AB
∴ ∠BCH=90°-∠2=60°
则 △CEF为等边三角形
∵ ∠ACF=90°-∠BCH=30°=∠4
∴ CF=FC=FE
即F为AE的中点
∵ O是AB的中点
∴ OF是△ABE的中位线
则 OE∥=1/2BE （中位线定理）