已知函数f(x)=ax/(1+x的平方)(a不等于0,a属于R) 1 若a=2,求f(x)在x大于0时的最大值
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(1)f(x)=ax/(1+x^2)=2x/(1+x^2)=2/((1/x)+x),由于(1/x)+x>=2(当(1/x)=x,即x=1时,取最大值),则f(x)=2/((1/x)+x)<=2/2=1,x=1时,取到最大值。
(2)f(x)=ax/(1+x^2)=ax/(1+x^2)=a/((1/x)+x),f(-x)=(-ax)/(1+(-x)^2)=-f(x),即f(x)是奇函数,故只需判断其在[0,1)上的单调性即可。
直接用定义证明,设x1,x2属于[0,1),且有x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1/(1+x1^2)-ax2/(1+x2^2)=a(x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2))/[(1+x1^2)(1+x2^2)]=a(x1-x2)(1-x1*x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
当a>0时,上式<0,即f在[0,1)是增函数,由于其是奇函数,故在(-1,0]也是增函数,因此f(x))在区间(-1,1)上是增函数;
当a<0时,上式>0,即f在[0,1)是减函数,由于其是奇函数,故在(-1,0]也是减函数,因此f(x))在区间(-1,1)上是减函数。
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(2)f(x)=ax/(1+x^2)=ax/(1+x^2)=a/((1/x)+x),f(-x)=(-ax)/(1+(-x)^2)=-f(x),即f(x)是奇函数,故只需判断其在[0,1)上的单调性即可。
直接用定义证明,设x1,x2属于[0,1),且有x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1/(1+x1^2)-ax2/(1+x2^2)=a(x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2))/[(1+x1^2)(1+x2^2)]=a(x1-x2)(1-x1*x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
当a>0时,上式<0,即f在[0,1)是增函数,由于其是奇函数,故在(-1,0]也是增函数,因此f(x))在区间(-1,1)上是增函数;
当a<0时,上式>0,即f在[0,1)是减函数,由于其是奇函数,故在(-1,0]也是减函数,因此f(x))在区间(-1,1)上是减函数。
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