Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为1/2，且点（1，3/2）在椭圆上，

过椭圆C左焦点F1的直线l 与椭圆相交于AB点，若三角形AOB面积为（6根号2）/7，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,e=c/a=1/2, c=a/2,a^2-c^2=b^2,b^2=3a^2/4,
方程为：x^2/a^2+y^2/(3a^2/4)=1,
x=1,y=3/2代入方程，a=2,
方程为：x^2/4+y^2/3=1,
c=√（a^2-b^2)=1,
AB过F1（-1，0），
设AB方程为：y=k(x+1),(1)
kx-y+k=0,
设圆半径为R,则圆心O与AB距离为R，垂足就是切点，
R=|k|/√（1+k^2),
将直线方程（1）代入椭圆方程，
（3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2),
x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2),
根据弦长公式，
|AB||=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=12(1+k^2)/(3+4k^2),
S△AOB=|AB|*R/2=（1/2）12(1+k^2)/(3+4k^2)*|k|/√（1+k^2）=
=6|k|√（1+k^2)/(3+4k^2)=6√2/7，
17k^4+k^2-18=0,
(17k^2+18)(k^2-1)=0,
k=1,或k=-1，
直线有二条，但圆只有一个，
R=√2/2，
所以与直线l相切的圆方程为：x^2+y^2=1/2.

Answer 2

c/a=1/2和点（1，1.5）可得抛物线方程x＾2/4+y＾2/3=1 ①
设过左焦点直线方程y=a（x+1） ②
联立①②X1+X2=-8a＾2/3+4a＾2 X1×X2=4a＾2-12/3+4a＾2
AB长=√（1+a＾2）〖（X1+X2)＾2-4X1X2〗=12+12a＾2/3+4a＾2 ③
原点到直线距离可求得l=a√a＾2+1/a＾2+1 ④
联立③④得三角形AOB面积=1/2×AB×l=6a√a＾2+1/3+4a＾2=6√2/7解得a=±1
则圆半径=√2/2则圆方程为x＾2+y＾2=1/2