Question

数学定积分

在曲线y=x^2上有一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为1/12，试求切点A的坐标以及过切点A的切线方程

Answer 1

解：设A点的坐标为A(a,b)。
∵A点是y=x²上的切点
∴A点处斜率为2a，b=a²
==>过A点的切线方程为y=2a(x-a)+b
∵切线与曲线以及x轴所围成的面积=∫<0,b>[√y-a-(y-b)/(2a)]dy
=[(2/3)y^(3/2)-ay-(y-b)²/(4a)]│<0,b>
=(2/3)b^(3/2)-ab+b²/(4a)
=(2/3)a³-a³+a³/4 （∵b=a²）
=a³/12
∴有题设得a³/12=1/12 ==>a³=1 ==>a=1
∴由y=x²的对称性知，a=±1
∴b=1
于是，满足题设条件的切点A的坐标是(±1,1)，过切点A的切线方程是y=2x-1，或y=-2x-1。

Answer 2

Answer 3