Question

已知数列{an}首项a1=1,满足an+1=2an+3n, n∈N+

1求证：数列{an -3n,}是等比数列，并求数列{ an }的通项公式{an}
2令bn=n(an +2n)+2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn
3,求证：Tn-n2>3
an+1=2an+3n方，（1）求证an-3n方为GP（2）bn=n（an+2n方）+2n-1，求Tn

Answer 1

（1）
a(n+1)-3^(n+1)=2an+3^n-3^(n+1)=2an-2*3^n=2(an-3^n)
所以{an-3^n}是公比为2的等比数列
所以an-3^n=(a1-3^1)*2^(n-1)=-2^n
所以an=3^n-2^n
（2）
bn=n(an+2^n)+2n-1=n*3^n+2n-1
记cn=n*3^n，dn=2n-1，Qn是{cn}的前n项和，Rn是{dn}的前n项和
则有bn=cn+dn，Tn=Qn+Rn
根据等差数列求和公式，Rn=n^2
Qn= n*3^n+(n-1)*3^(n-1)+...+2*3^2+3
3Qn=n*3^(n+1)+(n-1)*3^n+(n-2)*3^(n-1)+...+3^2
所以2Qn=n*3^(n+1)-[3^n+3^(n-1)+...+3^2-3]=n*3^(n+1)-1/2*[3^(n+1)-3]
所以Qn=(2n-1)/4*n*3^(n+1)+3/4
所以Tn=Qn+Rn=(2n-1)/4*n*3^(n+1)+3/4+n^2

（3）
Tn-n^2=(2n-1)/4*n*3^(n+1)+1/4>=1/4*3^2+3/4=3