Question

已知关于x的方程1／4x^2-（m-2）x+m^2=0

1）若此方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根
（2)问是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在,求出满足条件的m值：若不存在，请说明理由：

Answer 1

解：
1）1／4x^2-（m-2）x+m^2=0有两相等实根，说明判别式等于0
即△=［-（m-2）］^2 - 4*1/4*m^2=0
m^2-4m+4-m^2=0
4m-4=0
m=1
x= -［-(m-2)］/(2*1/4)
= (1-2)/(1/2)
= -2
2）由韦达定理，得x1+x2 = -［-(m-2)］/（1/4）= 4（m-2）
x1*x2 = m^2 /（1/4）= 4m^2
x1^2+x2^2=（x1+x2）^2 - 2x1*x2
=［ 4（m-2）］^2 - 2*4m^2
= 16m^2 - 64m +64 - 8m^2
= 16m^2 - 72m +64
令16m^2 - 72m +64 =224
则16m^2 - 72m - 160 = 0
2m^2 - 9m - 20 = 0
m=［9±√（81+160）］/4
=（9±√241）/4
所以，存在正数m=（9+√241）/4，使方程的两个实数根的平方和等于224

追问

你好像第二问做错了，倒数第7行
16m^2 - 64m +64 - 8m^2应该等于8m^2-64m+64

追答

我说哪不对劲呢，不好意思，我改一下：
2）由韦达定理，得x1+x2 = -［-(m-2)］/（1/4）= 4（m-2）
x1*x2 = m^2 /（1/4）= 4m^2
x1^2+x2^2=（x1+x2）^2 - 2x1*x2
=［ 4（m-2）］^2 - 2*4m^2
= 16m^2 - 64m +64 - 8m^2
= 8m^2 - 64m +64
令8m^2 - 64m +64 =224
则8m^2 - 64m - 160 = 0
m^2 - 8m - 20 = 0
（m-10）*（m+2）=0
m=10或m= -2
所以，存在正数m=10，使方程的两个实数根的平方和等于224