Question

设a>0,f(x)=ex /a +a/ex 在R上是由函数 （1）求a的值 (2) 证明 f（x）在[ 0,+∝]上是增函数

Answer 1

是偶函数吧？
（1）偶函数，满足f(-1)=f(1)，f(-1)=1/ae+ae，f(1)=e/a+a/e
所以：1/ae+ae=e/a+a/e，即：ae-a/e=e/a-1/ae
即：a(e-1/e)=(1/a)(e-1/e)
所以：a=1/a，得：a=±1，因为a>0，所以：a=1；
（2）由（1），f(x)=e^x+1/e^(x)
令0≦x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^(x1)-e^x2-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+(e^x2-e^x1)/e^x1*e^x2
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1+x2)]
因为0≦x1<x2，所以e^x1<e^x2，且x1+x2>0，则e^(x1+x2)>1，则1/e^(x1+x2)<1
所以1-1/e^(x1+x2)>0
所以：f(x1)-f(x2)=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1+x2)<0
即0≦x1<x2时，f(x1)<f(x2)
所以， f（x）在[ 0,+∝]上是增函数

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！