Question

大一高数，急求答案~~~

设f（x）是0到2a上的连续函数（a＞0﹚且f（0）＝f（2a），试证明∶存在c∈[0，a]使得
f（c）＝f（c＋a）
请认真作答，谢谢O(∩_∩)O~

Answer 1

首先构造辅助函数F(x)=f（x）-f（x＋a）,其中0=<x<=a;
F(0)=f（0）-f（a）;F(a)=f（a）-f（2a）;
因为f（0）＝f（2a），所以F(0)= - F(a).
F(x)在定义域内是连续函数，根据连续函数零点存在定理，可以得到
在一点c∈[0，a]使得F(0)= 0，即f（c）＝f（c＋a）

Answer 2

令g(x)= f(x+a) -f(x) x∈[0，a], g(x)在[0,a]连续。 则g(0) = f(a) - f(0), g(a)=f(2a) - f(a) = f(0) - f(a)
1）若g(0) =0 ,取c = 0既可
2）若g(0) ≠ 0, 则g(0), g(a)异号，由闭区间连续函数的介值定理，存在c∈[0，a]使g(c) =0,
即f(c+a) - f(c) = 0, f(c)＝f(c＋a)
证毕