Question

线性代数与几何

9. 计算行列式 ：
1.x y ... 0 0
0 x ... 0 0
' ' ' '
0 0 ... x y
y 0 ... 0 x (n阶）
2. a1-b1 a1-b2 ... a1-bn
a2-b1 a2-b2 ... a2-bn
a3-b1 a3-b2 ... a3-bn
' ' '
an-b1 an-b2 ... an-bn

Answer 1

1. 解法1: 用定义
根据行列式的定义, 每行每列恰取一元作乘积
行列式只有两项非零
D = (-1)^t(123...n)x^n + (-1)^t(234...n1)y^n
= x^n +(-1)^(n-1)y^n.
--逆序数 t(234...n1)=n-1

解法2: 用展开定理
按第1列展开, 行列式 =
x*(-1)^(1+1)*
x y ... 0 0
... ...
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x
+
y(-1)^(n+1)*
y 0 ... 0 0
x y ... 0 0
... ...
0 0 ... x y

= x^n +(-1)^(n+1)y^n.
=================================================
2. a1-b1 a1-b2 ... a1-bn
a2-b1 a2-b2 ... a2-bn
a3-b1 a3-b2 ... a3-bn
... ...
an-b1 an-b2 ... an-bn

解:
D1 = a1-b1
D2 = (a1-b1)(a2-b2)-(a1-b2)(a2-b1)
= (a1-a2)(b1-b2)

当n>=3时
Dn =
a1-b1 a1-b2 a1-b3 ... a1-bn
a2-b1 a2-b2 a2-b3 ... a2-bn
a3-b1 a3-b2 a3-b3 ... a3-bn
... ... ...
an-b1 an-b2 an-b3 ... an-bn

c3-c1, c2-c1
a1-b1 b1-b2 b1-b3 ... a1-bn
a2-b1 b1-b2 b1-b3 ... a2-bn
a3-b1 b1-b2 b1-b3 ... a3-bn
... ... ...
an-b1 b1-b2 b1-b3 ... an-bn

第2,3列成比例
所以n>=3时, Dn = 0.

Answer 2

第1问直接按第1列展开就行了，自己动手算。

第2问当中n=1和n=2直接算，n>2的时候矩阵不满秩（秩不超过2），行列式为零。