Question

大一高数微积分

证明：若F(X)在【A,B】上连续，A＜X1＜X2＜X3＜B，则在（X1,X3）内至少存在一点Y，使得F(Y)=[F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3

Answer 1

证明，假定不存在这样的点，根据 过零点定理，在(x1,x3)上f(x)-[F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3符号不变，即它要么永远大于[F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3，要么永远小于 [F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3
不失一般性，假定它永远大于，就是 f(x)>[F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3对所有的x成立
而这显然不可能，因为F(x1),F(x2),F(x3)中最小的一个值肯定小于等于[F(X1)+F(X2)+F(X3)]/3，